随机生成树中节点度的期望与方差
离散数学
2024-10-18 v2 组合数学
摘要
我们考虑一个无向、边加权有限图的所有生成树上的吉布斯分布，其中，在归一化之前，每棵树的概率由其边权重的乘积给出。将节点的加权度定义为其关联边的权重之和，我们给出了在吉布斯分布下节点加权度的期望、方差和协方差的解析表达式。为了推广我们的方法，我们区分了两种类型的权重：概率权重，它调节生成树的分布；以及度权重，它定义节点的加权度。这种区分允许我们独立于概率权重来定义节点的加权度。通过利用矩阵树定理，我们表明这些度矩最终取决于图拉普拉斯算子子矩阵的逆。虽然我们的重点是无向图，但我们证明了我们的结果可以通过考虑入向有向树扩展到有向设置。
引用
@article{arxiv.2409.13472,
title = {Expectation and Variance of the Degree of a Node in Random Spanning Trees},
author = {Enrique Fita Sanmartín and Christoph Schnörr and Fred A. Hamprecht},
journal= {arXiv preprint arXiv:2409.13472},
year = {2024}
}