均匀递归树底层中的度分布

在本文中，我们考虑经过 $n$ 步后的均匀随机递归树的第 $k$ 层，并证明对于每个 $t\in(0,1)$，当 $n\to\infty$ 时，度大于 $t\log n$ 的节点比例几乎必然收敛于 $(1-t)^k$。此外，我们证明第一层中度为 $d$ 的节点数渐近服从均值为 1 的 Poisson 分布；并且对于 $d=1,2,...$，它们是渐近独立的。