随机递增平面树：按距叶距离的顶点渐近计数

我们证明，对任意固定的$k$，随机递增平面树中一个随机顶点具有秩$k$的概率，即随机顶点距叶距离为$k$的概率，随着树的大小$n$趋于无穷而收敛于常数$c_k$。我们证明$1-\sum_{j\le k} c_k<\tfrac{3^{k+1}}{(2k+1)!}$，从而极限秩分布的尾部是超指数级狭窄的。我们亦证明该性质对所有有限$n$一致成立。更一般地，我们证明有限均匀随机顶点集合的秩是渐近独立的，且各自服从分布$\{c_k\}$。我们计算了$0\leq k\leq 3$时$c_k$的精确值，表明秩$\le 3$的顶点的极限期望比例约为$0.9997\dots$。我们证明以概率$1-n^{-0.99\eps}$树中顶点的最高秩介于$(1-\eps)\log n /\log\log n$与$(1.5+\eps)\log n/\log\log n$之间，且该秩以概率$1-o(1)$渐近于$\log n/\log\log n$。