关于随机搜索树：按距叶子距离对顶点的渐近计数

本文研究了由 $[n]$ 的均匀随机排列生成的随机二叉搜索树。我们分析了按秩（即距叶子集合的距离）计的顶点的精确与渐近计数。结果表明，固定秩 $k\ge 0$ 的顶点的渐近比例 $c_k$ 随 $k$ 呈指数衰减。精确比例 $c_k$ 因极难计算而臭名昭著，此前仅对 $k\le 3$ 确定了其值。我们也计算了 $c_4$ 和 $c_5$；两者均为极大整数的比值，$c_5$ 的分母长达 $274$ 位。受数据启发，我们证明了形成鲜明对比的是，$c_k$ 分母的最大素因子至多为 $2^{k+1}+1$。我们猜想，事实上，对于 $k>1$ 的每个分母，其素因子构成单个区间，即从 $2$ 到不超过 $2^{k+1}+1$ 的最大素数。