k 叉生长树的缩放极限

对于每个整数 $k \geq 2$，我们引入了一序列 $k$ 叉离散树，其构建方式为递归地在每一步从现有边中均匀选择一条边，并在其“中间”嫁接 $k-1$ 条新边。当 $k=2$ 时，这对应于 R\'emy 首先引入的一个著名算法。我们的主要结果关注这些树在 $n$ 趋于无穷大时的渐近行为：对于所有 $k$，$k$ 叉树序列以 $n^{1/k}$ 的速度增长，收敛于一个属于自相似碎片化树家族的 $k$ 叉随机实树。这一收敛性是相对于 Gromov-Hausdorff-Prokhorov 拓扑证明的。我们还研究了当 $k$ 变化时极限树的嵌入情况。