瘦树与胖树的缩放极限

我们考虑在总顶点数 $n$ 与叶子数 $k$ 双重条件下生成的 Galton--Watson 树。关注的情形是 $k$ 与 $n$ 均趋于无穷且 $k = \alpha n + O(1)$,其中 $\alpha \in (0, 1)$。假设子代分布呈指数衰减,我们证明经重标度的随机树在 Gromov--Hausdorff 拓扑下依分布收敛于 Aldous 连续随机树。该缩放依赖于一个参数 $\sigma^\ast$,我们给出了其显式计算。此外,我们计算了这些随机树度序列的极限。