扩张型高尔顿-沃森树的渐近性质

我们考虑一个超临界高尔顿-沃森树，其非退化后代分布具有有限均值。我们考虑随机树 $\tau_n$ 分布为 $\tau$ 在条件第 n 代 $Z_n$ 大小为 $a_n \in \mathbb{N}$ 下的分布。我们根据 $a_n$ 的增长率确定了当 n 趋于无穷时 $\tau_n$ 可能的局部极限。在低增长情形下，局部极限 $\tau_0$ 为凯斯滕树；在中等增长情形下，局部极限族 $\tau_\theta$（$\theta \in (0,+\infty)$）分布为 $\tau$ 在条件 $\{W=\theta\}$ 下，其中 W 为 $Z_n$ 重整化的（非平凡）极限。在高增长情形下，我们证明了在哈里斯情形（后代分布有限支撑）下向 $\tau_\infty$ 的局部收敛，并对后代分布具有某些指数矩时可能的极限给出猜想。当后代分布具有重尾时，该问题开放。证明依赖于高尔顿-沃森过程的强比率定理。后述结果在低增长与高增长情形下是新的，并可用于补全高尔顿-沃森过程（时空）马丁边界的描述。最后，我们考虑局部极限（$\tau_\theta$，$\theta \in [0,\infty)$）依分布的连续性。