随机环境中无限多类型 Galton-Watson 过程的 Kesten-Stigum 定理

本文研究随机遍历环境 $\bar{\xi}=(\xi_n)_{n\geq 0}$ 中具有无限多类型的 Galton-Watson 过程 $(Z_n)$。我们关注过程的超临界区域，其中种群规模的退火平均值以指数速度增长至无穷大。我们在源自前一篇论文的 Doeblin 型假设下工作，这些假设确保 $(Z_n)$ 的退火平均半群满足某种遍历性，并承认一族 $\bar{\xi}$-可测的时空调和函数。我们利用这些性质导出相关的非负鞅 $(W_n)$。在后代分布满足 $L\log(L)^{1+\varepsilon}$ 可积性假设下，我们证明鞅 $(W_n)$ 的几乎必然极限 $W$ 非退化。假设后代分布具有一致的 $L^2$ 可积性，我们证明在 $\{W>0\}$ 条件下，对于大时刻 $n$，种群规模和类型分布均对应于种群的退火平均 $\mathbb{E}[Z_n|\bar{\xi}, Z_0]$。最后我们引入一个建模具有离散年龄结构种群的过程为例。在此背景下，我们提供了更易处理的判据，以保证我们的各项假设成立。