Markov 分枝树的局部极限及其体积增长

我们关注满足 Markov 分枝性质的随机树族的局部极限，该性质为众多模型所满足。粗略地说，该性质意味着给定根节点之上各子树的大小，这些子树是独立的，且其分布仅依赖于各自的大小。一个 Markov 分枝族中元素的律由整数分拆集合上的一个概率分布序列刻画，该序列描述了根节点之上子树大小如何分布。我们证明，在该概率序列的某些自然假设下，当树的大小趋于无穷时，这些树依分布收敛到一棵无穷树，该无穷树也满足 Markov 分枝性质。此外，当这棵无穷树具有从根到无穷的单一路径时，我们给出条件，确保在其距离和计数测度的适当重标度下，它依分布收敛到一棵带移民的自相似碎裂树。特别地，这使我们能够确定在这棵无穷树中，以根为中心、半径为 $R$ 的球的“体积”如何随 $R$ 渐近增长。我们的统一方法将使我们能够发展各种新的应用，特别是对不同的生长树和切割树模型，并恢复已知结果。一个说明性的例子在于 Galton-Watson 树的研究：一个临界的 Galton-Watson 树在其大小条件下的分布，当大小趋于无穷时收敛到 Kesten 树的分布。此外，如果后代分布具有有限方差，在适当的重标度下，Kesten 树收敛到 Aldous 的自相似 CRT，且前 $R$ 代的总大小渐近表现为 $R^2$。