Lévy 树的概率与分形性质

我们研究称为 Lévy 树的随机连续树，它们是离散 Galton-Watson 树的比例极限。我们给出这些随机树的数学严格定义，将其作为取值于紧致有根 R-树等价类集合的随机变量，该集合装备有 Gromov-Hausdorff 距离。为构造 Lévy 树，我们利用先前工作详细研究过的由高过程编码的方法。随后我们研究 Lévy 树的各种概率性质。特别地，我们建立类似于 Galton-Watson 树著名性质的 branching 性质：在给定 level $a$ 以下树的条件分布下，源于该层的子树分布为 Poisson 点测度的原子，其强度涉及支撑于距根距离为 $a$ 的顶点上的局部时测度。我们研究局部时在空间变量中的正则性质，并证明除对应局部灭绝的某些例外值 $a$ 外，局部时的支撑为整个水平集。我们还用刻画树分布的 branching 机制函数 $\psi$ 的下标与上标计算 Lévy 树的若干分形维数，包括 Hausdorff 维数与填充维数。最后我们讨论对具有一般 branching 机制的超布朗运动的一些应用。