随机树、Lévy 过程与空间分支过程

我们研究了一般临界或次临界连续状态分支过程的谱系结构。类似于用轮廓函数编码离散树，该谱系结构由一个称为高度过程的实值随机过程编码，该过程本身构造为无负跳 Lévy 过程的局部时间泛函。我们详细研究了高度过程以及一个相关联的测度值过程（称为探索过程），后者在大多数应用中起关键作用。在适当假设下，我们证明：每当一列经重新尺度的 Galton-Watson 过程依分布收敛时，其谱系也收敛到由适当高度过程编码的连续分支结构。我们将这一不变性原理应用于 Galton-Watson 树的各种渐近性。随后，我们利用探索过程的对偶性质显式计算高度过程中与 Poisson 标记相关联的约化树的分布，以及所谓稳定连续树的有穷维边际。最后一项计算将 Aldous 关于 Brownian 连续随机树的结果推广到稳定情形。最后，我们将谱系结构与独立的空间运动相结合，发展出一种处理具有一般分支机制的超过程的新方法。在此框架下，我们导出某些显式分布，例如区域中空间约化树的分布律，该树由所有触及边界的历史路径的集合构成。