分数幂的 Sárközy 定理

假设 $A$ 是 $\{1,\dotsc,N\}$ 的子集，不包含形如 $x,x+\lfloor n^c \rfloor$ 的构型，其中 $n\neq 0$ 且 $1<c<\frac{6}{5}$。我们证明 $A$ 在前 $N$ 个整数中的密度为 $O_c(N^{1-\frac{6}{5c}})$。更一般地，给定一个光滑正则的实值函数 $h$，其“增长率” $c\in(1,\frac{6}{5})$，我们证明若 $A$ 缺少形如 $x,x\pm\lfloor h(n)\rfloor$ 的构型，则对任意 $\varepsilon>0$ 有 $\frac{|A|}{N} \ll_{h,\varepsilon} N^{1-\frac{6}{5c}+\varepsilon}$。