由多重分拆函数的正奇密度无条件证明 $p(n)$ 的正奇密度

Parkin-Shanks 的一个著名猜想预测 $p(n)$ 为奇数的密度为 $1/2$。然而尽管过去几十年有大量工作，即便证明该密度为正也似乎遥不可及。在 2018 年与 Judge 合著的一篇论文中，我们引入了不同的方法，并猜想了一个“惊人”的事实：若对任意 $A \equiv \pm 1\ (\bmod 6)$，多重分拆函数 $p_A(n)$ 具有正奇密度，则 $p(n)$ 亦然。类似地，任意 $A\equiv 3\ (\bmod 6)$ 的 $p_{A}(n)$ 的正奇密度将推出 $p_3(n)$ 的正奇密度。我们的猜想被证明是该论文早先一个猜想的推论。在本短文中，我们给出其无条件证明。一个重要工具是 Chen 近期关于我们早先猜想一个特例的突破。