关于除数和二进制生成函数倒数的研究

如果 $A$ 是一个包含 $0$ 的自然数集合，那么存在唯一的非空“倒数”自然数集合 $B$（包含 $0$），使得每个正整数都可以写成 $a + b$ 的形式，其中 $a \in A$ 且 $b \in B$，且方式数为偶数。此外，$A$ 和 $B$ 在 $\FF_2$ 上的生成函数在 $\FF_2 [[q]]$ 中互为倒数。我们考虑集合 $A$ 的倒数集合 $B$，其中 $A$ 包含 $0$ 以及所有满足 $\sigma(n)$ 为奇数的整数，这里 $\sigma(n)$ 是 $n$ 的所有正除数之和。这个问题的动机来自欧拉的“五边形数定理”，其推论之一是：使得整数 $n$ 的划分数 $p(n)$ 为奇数的自然数 $n$ 的集合，是广义五边形数（形式为 $k(3k\pm1)/2$ 的整数，其中 $k$ 为自然数）集合的倒数。Parkin 和 Shanks 的一个古老猜想（1967 年）认为，使得 $p(n)$ 为奇数（等价地为偶数）的整数 $n$ 的密度为 $1/2$。欧拉还发现 $\sigma(n)$ 满足一个与五边形数定理给出的递推关系几乎相同的递推关系，因此我们希望通过计算包含 $\sigma(n)$ 为奇数的自然数集合（按惯例 $\sigma(0)=1$）的倒数集合的密度，来阐明 Parkin-Shanks 猜想。我们猜想该特定密度为 $1/32$，并证明其介于 $0$ 和 $1/16$ 之间。最后，我们揭示了某些 Beatty 序列与 $\sigma(n)$ 为奇数的整数 $n$ 序列之间的一些惊人联系。