二元幂级数倒数系数中的奇偶性异常行为

设 $\mathcal{A}$ 为包含 $0$ 的 $\mathbb{N}$ 的有限子集，$f_\mathcal{A}(n)$ 表示将 $n$ 写为 $n=\sum_{i=0}^{\infty}\epsilon_i2^i$ 的方法数，其中 $\epsilon_i\in\mathcal{A}$。序列 $\left(f_\mathcal{A}(n)\right) \bmod 2$ 总是周期的，且 $f_\mathcal{A}(n)$ 通常为偶数的情况多于奇数。我们给出了四组集合族 $\left(\mathcal{A}_m\right)$，满足 $\left|\mathcal{A}_m\right|=4$，使得奇数 $f_{\mathcal{A}_m}(n)$ 的比例在 $m\to\infty$ 时趋于 $1$。