关于分为互异部分与奇部分的划分

在本文中，我们证明了当 $n$ 为奇数时，$n$ 的奇部分划分的部分数与 $n$ 的互异部分划分的部分数之差满足 Euler 关于划分函数 $p(n)$ 的递推关系。我们还推导了该差值按 $n$ 的所有划分的总部分数所作的分解。在此背景下，我们猜想对于 $k>0$，级数 $$(q^2;q^2)_\infty \sum_{n=k}^\infty \frac{q^{{k\choose 2}+(k+1)n}}{(q;q)_n} \begin{bmatrix} n-1\\k-1 \end{bmatrix}$$ 具有非负系数。