论分区函数奇数值的密度

本笔记旨在介绍研究分区理论中最基本且看似难解问题之一即分区函数 $p(n)$ 模 2 等分布猜想的新方法。我们的主要结果将关联若干整数 $t$ 的 $t$-多分区函数 $p_t(n)$ 奇数值的密度 $\delta_t$。特别地，我们将证明若对某个 $t\in \{5,7,11,13,17,19,23,25\}$ 有 $\delta_t>0$，则（假设存在）$\delta_1>0$；即 $p(n)$ 本身以正密度为奇。注意当前最佳无条件结果甚至不能推出 $p(n)$ 对 $n\le x$ 的 $\sqrt{x}$ 个值为奇。一般地，我们猜想对所有奇 $t$ 有 $\delta_t=1/2$，即类似于 $p(n)$ 情况，所有多分区函数实际上模 2 等分布。我们的论证采用若干代数与分析方法，从经典 Ramanujan 恒等式的模 2 研究及若干其他 eta 积结果，到研究 Radu 最近引入的广泛模形式恒等式类的傅里叶系数奇偶性的统一方法。