Mex 相关分拆函数的奇偶性分布与可除性

Andrews 与 Newman 为整数分拆 $\lambda$ 引入 mex 函数 $\text{mex}_{A,a}(\lambda)$，其中 $\lambda$ 为正整数 $n$ 的分拆，该函数定义为不与 $\lambda$ 的各部分同余于 $a$ 模 $A$ 的最小正整数。他们随后定义 $p_{A,a}(n)$ 为满足 $\text{mex}_{A,a}(\lambda)\equiv a\pmod{2A}$ 的 $n$ 的分拆 $\lambda$ 的个数。他们给出了任意正整数 $t$ 下 $p_{t,t}(n)$ 与 $p_{2t,t}(n)$ 的生成函数，并研究了某些小值 $t$ 的算术性质。在本文中，我们研究所有正整数 $m$ 和 $t$ 下的分拆函数 $p_{mt,t}(n)$。我们证明对充分大的 $X$，对所有正整数 $m$ 和 $t$，满足 $p_{mt,t}(n)$ 为偶数的正整数 $n\leq X$ 的个数至少为 $\mathcal{O}(\sqrt{X/3})$。我们还证明对充分大的 $X$，对所有 $m\not \equiv 0\pmod{3}$ 与所有素数 $p\equiv 1\pmod{3}$，满足 $p_{mp,p}(n)$ 为奇数的正整数 $n\leq X$ 的个数至少为 $\mathcal{O}(\log \log X)$。最后，我们建立了普通分拆函数与 $p_{mt,t}(n)$ 的联系恒等式。