Mex 相关分拆及其与普通分拆和奇异超分拆的关系

在最近一篇论文中，Andrews 和 Newman 利用最小排除元或“mex”函数引入了某些分拆函数族。本文中，我们研究 Andrews 和 Newman 引入的函数族中的两个，即 p_{t,t}(n) 和 p_{2t,t}(n)。我们建立了普通分拆函数 p(n) 与对所有 t≥1 的 p_{t,t}(n) 和 p_{2t,t}(n) 之间的恒等式。利用这些恒等式，我们证明 Ramanujan 著名的 p(n) 同余也被无穷多个 t 值的 p_{t,t}(n) 和 p_{2t,t}(n) 所满足。最近，da Silva 和 Sellers 给出了 p_{1,1}(n) 和 p_{3,3}(n) 的完整奇偶性刻画。我们证明对所有 n≥0 和 t≥1 有 p_{t,t}(n) ≡ \overline{C}_{4t,t}(n) (mod 2)，其中 \overline{C}_{4t,t}(n) 是 Andrews 的奇异超分拆函数。利用该同余，da Silva 和 Sellers 给出的 p_{1,1}(n) 奇偶性刻画可由 \overline{C}_{4,1}(n) 的奇偶性刻画推出。我们也给出了已由 da Silva 和 Sellers 证明的某些同余的初等证明。