Andrews 奇异超分拆 $\overline{C}_{p,1}(n)$ 的分布

Andrews 引入了分拆函数 $\overline{C}_{k, i}(n)$，称为奇异超分拆，其计数 $n$ 的超分拆中无部分被 $k$ 整除且仅有 $\equiv \pm i\pmod{k}$ 的部分可被加横线的个数。我们研究 $\overline{C}_{k,i}(n)$ 的奇偶性与分布结果，其中 $k>3$ 且 $1\leq i \leq \left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor$。更具体地，我们证明对每个依赖于 $k$ 和 $i$ 的整数 $\ell\geq 2$，区间 $\left[\ell, \frac{\ell(3\ell+1)}{2}\right]$ $\Big($相应为 $\left[2\ell-1, \frac{\ell(3\ell-1)}{2}\right] \Big)$ 包含一个整数 $n$ 使得 $\overline{C}_{k,i}(n)$ 为偶数（相应为奇数）。最后我们研究了 $\overline{C}_{p,1}(n)$ 的分布，其中 $p\geq 5$ 为素数。