关于 Andrews 和 Newman 的 Mex 相关分拆函数

最小排除元（minimal excludant，或“mex”）函数在正整数集合 S 上定义为不在 S 中的最小正整数。在最近一篇论文中，Andrews 和 Newman 将 mex 函数推广到整数分拆，并发现了与这些函数相关的许多惊人分拆恒等式。最近，da Silva 和 Sellers 给出了 Andrews 和 Newman 研究的函数族之一即 p_{t,t}(n) 的奇偶性考虑，并提供了 p_{1,1}(n) 和 p_{3,3}(n) 的完整奇偶性刻画。本文中，我们研究当 t=2^{α}, 3·2^{α}（对所有 α≥1）时 p_{t,t}(n) 的奇偶性。我们证明对所有 α≥1，p_{2^{α},2^{α}}(n) 和 p_{3·2^{α}, 3·2^{α}}(n) 几乎总是偶数。利用 Ono 和 Taguchi 关于 Hecke 算子幂零性的结果，我们还找到了对所有 α≥1 的 p_{2^{α},2^{α}}(n) 和 p_{3·2^{α}, 3·2^{α}}(n) 满足的模 2 同余无限族。