半质数数列上分区同余的稀缺性

在最近的工作中，作者们考察了形式为 $p(\ell Q^r n+\beta)\equiv 0\pmod\ell$ 的分区函数 $p(n)$ 的同余式，其中 $\ell, Q\geq 5$ 为素数且 $r\in \{1,2\}$，并证明了若干结果表明此类同余式在精确意义上稀缺。本文改进了当 $r=1$ 时的一个结果；具体而言，我们证明（除平凡情形外），使得存在 $\beta\in \mathbb{Z}$ 且 $p(\ell Q n+\beta)\equiv 0\pmod \ell$ 对所有 $n$ 成立的素数 $Q$ 集合的密度为零。该证明涉及对先前论证部分的修改以及对 Dicks 最近关于半整数权模形式和模 $\ell$ 下的定理的应用。