$t$ 核分区的类 $t$ 分区的算术性质

正整数 $n$ 的整数分区称为 $t$ 核分区，如果其中的任意钩长都不能被 $t$ 整除。最近，Gireesh、Ray 和 Shivashankar 引入了 $t$ 核分区函数 $c_t(n)$ 的一个类 $\overline{a}_t(n)$。他们获得了关于 $\overline{a}_t(n)$ 的某些乘性公式和算术恒等式，其中 $t \in \{3,4,5,8\}$，并研究了 $\overline{a}_t(n)$ 在模 $p_i^{j}$ 上的算术密度，其中 $t=p_1^{a_1}\cdots p_m^{a_m}$ 且 $p_i\geq 5$ 为素数。最近，Bandyopadhyay 和 Baruah 证明了 $\overline{a}_5(n)$ 满足的新的算术恒等式。在本文中，我们研究 $\overline{a}_t(n)$ 在 $t=3^\alpha m$（其中 $\gcd(m,6)=1$）时关于 2 和 3 的任意幂的模算术密度。同时，借助 Ono 和 Taguchi 在 Hecke 算子零幂性方面的结果，我们证明了 $\overline{a}_3(n)$ 关于 2 的任意幂的等差数列。