双指数序列的倒数和的无理性

我们表明，比值$a_n^2/a_{n+1}$位于特定范围内的正整数序列几乎唯一地由其倒数和确定。例如，Sylvester数列唯一地表述为唯一具有$a_n^2/a_{n+1}\in[2/3,4/3]$且其倒数和等于1的数列。此结果对无理性问题具有应用。我们证明了对于几乎每个$\alpha > 1$，渐近于$\alpha^{2^n}$的数列具有无理数的倒数和。此外，我们的观察为Erd\H{o}s和Graham的开放问题提供了启发性见解。