具有规定倒数和的划分：渐近界

在 $1963$ 年，Graham 证明了每个正整数 $n \ge 78$ 都可以写成不同正整数 $a_1, a_2, \ldots, a_r$ 之和，使得 $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_r}$ 等于 $1$。在同一篇论文中，他进一步推广了这一结果，并证明了对于所有正有理数 $\alpha$ 和所有正整数 $m$，存在一个 $n_{\alpha, m}$ 使得每个正整数 $n \ge n_{\alpha, m}$ 都有一个各部分互不相同的划分，所有部分均大于或等于 $m$，且倒数之和等于 $\alpha$。然而，此前并未尝试估计 $n_{\alpha, m}$ 的量级。令 $n_{\alpha} := n_{\alpha, 1}$，在本文中，我们给出了 $n_{\alpha}$ 和 $n_{\alpha, m}$ 的近最优上界，以及集合 $\{\alpha : n_{\alpha} \le n\}$ 基数的界。