涉及Piatetski-Shapiro数的二元加性问题的渐近与非渐近结果

对于所有满足 $1/\alpha_1+1/\alpha_2>5/3$ 的 $\alpha_1,\alpha_2\in(1,2)$，我们证明了当 $N\to\infty$ 时，满足 $N=\lfloor{n_1^{\alpha_1}}\rfloor+\lfloor{n_2^{\alpha_2}}\rfloor$ 的正整数对 $(n_1,n_2)$ 的数量等于 $\Gamma(1+1/\alpha_1)\Gamma(1+1/\alpha_2)\Gamma(1/\alpha_1+1/\alpha_2)^{-1}N^{1/\alpha_1+1/\alpha_2-1} + o(N^{1/\alpha_1+1/\alpha_2-1})$，其中 $\Gamma$ 表示伽马函数。此外，当 $\alpha_1,\alpha_2\in(1,2)$ 位于比上述更大的范围内时，我们给出了同一计数问题的非渐近结果。最后，我们以启发式的方式给出了类似计数问题的一些渐近公式。