由 Piatetski-Shapiro 序列中多项式表示的有限序列的分布

利用 Frantzikinakis 与 Wierdl 的工作，可见对所有 $d\in\mathbb{N}$、$\alpha\in(d,d+1)$ 以及整数 $k\ge d+2$ 与 $r\ge1$，存在无穷多个 $n\in\mathbb{N}$ 使得序列 $(\lfloor{(n+rj)^\alpha}\rfloor)_{j=0}^{k-1}$ 可表示为 $\lfloor{(n+rj)^\alpha}\rfloor=p(j)$，$j=0,1,\ldots,k-1$，其中使用了某个次数至多为 $d$ 的多项式 $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$。特别地，当 $d=1$ 时上述序列为等差数列。本文中，我们给出了此类 $n$ 的渐近密度。当 $d=1$ 时，渐近密度等于 $1/(k-1)$。尽管在上述结果中公差 $r$ 是任意固定的，我们也考察了 $r$ 不固定的情形。本文多数结果利用属于 Hardy 场的函数进行了推广。