埃尔斯多斯-西尔皮ński 猜想的一个推广

本文研究方程 $\sigma(n+1) = k\sigma(n)$ (其中 $k>1$ 为整数) 解集的组合结构和渐近分布。从组合角度来看，该方程的解与 $k$ 层数概念密切相关，后者是齐姆克拉耶数的一个推广。在分析章节中，本研究运用概率数论框架和经典 Kubilius 模型的扩展，研究求和函数的振荡和局部行为。利用算术函数的截断技术并应用中国剩余定理，将问题归约到一个配备独立随机变量的合成测度空间。随后，本文将优化后的柯尔莫罗-罗戈茨反浓度不等式(佩特罗夫定理)应用于加法变量的差上，并细调误差参数，证明了该集合的自然密度为零。本方法的主要定量结果是推导出计数函数的显式上界 $A_k(x) \ll_k \frac{x}{\sqrt{\log \log \log x}}$。最后，在零渐近密度的基础上，依据多项式框架和 Schinzel H 假设，本文在 $k=2$ 情况下建立了解的条件无限性，并提出存在结果。