Erd"os-Sierpi\'nski 问题的解：$\sigma(n)=\sigma(n+1)$

对于 $n\leq 1.5 \cdot 10^{10}$，我们共找到了 1268 个 Erd"os-Sierpi\'nski 问题的正整数解，该问题旨在寻找满足 $\sigma(n)=\sigma(n+1)$ 的解，其中 $\sigma(n)$ 表示 $n$ 的正因子之和。基于该解集，我们提出了以下经验性质：首先，所有作为解的 $n$ 对应的 $\sigma(n)$ 均可被 6 整除；其次，解的重复出现引出了一个新问题：\emph{寻找自然数 $n$，使得对于某个正整数 $k$，满足 $\sigma(n)=\sigma(n+1)=\sigma(n+k)=\sigma(n+k+1)$}。第三个经验性质涉及函数 $n$ 的渐近行为，该函数给出了小于或等于 $n$ 的解的数量 $m$，我们发现其表现为 $n^{1/3}$。最后，我们陈述并证明了与 Erd"os-Sierpi\'nski 问题相关的一些定理。