利用卢卡斯序列推广谢尔宾斯基定理

1960 年，谢尔宾斯基证明了存在无穷多个正奇数 $k$，使得对所有正整数 $n$，$k\cdot 2^n+1$ 均为合数。本文证明了谢尔宾斯基定理的一些推广形式，将 $2^n$ 替换为涉及特定卢卡斯序列 $U_n(\alpha,\beta)$ 的表达式。特别地，我们证明了存在无穷多对卢卡斯对 $(\alpha,\beta)$，使得存在无穷多个正整数 $k$，对所有整数 $n\ge 1$，$k (U_n(\alpha,\beta)+(\alpha-\beta)^2)+1$ 均为合数。谢尔宾斯基定理是 $\alpha=2$ 且 $\beta=1$ 的特例。最后，我们建立了该结果的一个非线性版本，证明存在无穷多个有理整数 $\alpha>1$，使得存在无穷多个正整数 $k$，对所有整数 $n\ge 1$，$k^2 (U_n(\alpha,1)+(\alpha-1)^2)+1$ 均为合数。