关于波利尼亚克猜想的一个弱化形式

波利尼亚克[1]猜想：对于每个偶数自然数$2k (k\geq1)$，存在无穷多对连续素数$p_n$和$p_{n+1}$，使得$p_{n+1}-p_n=2k$。该猜想的一个弱化形式指出：对于每个$k\geq1$，存在无穷多对素数$p$和$q$，使得$p-q=2k$。显然，波利尼亚克猜想的弱化形式蕴含存在一个无穷正整数序列$x_1,x_2,...,x_m,...$，使得$x_1 (2k+x_1),x_2 (2k+x_2),...,x_m (2k+x_m)...$两两互素。在本文中，我们得到了一个比这个必要条件稍强的结果。这使我们能够发现某些特殊数论函数（如$2^x -1$）的一个共同性质，根据丰富的文献和大量研究报告，这些函数很可能表示无穷多个素数。然而，函数$2^{2^x}+1$不具有这个性质。这是否意味着费马素数的个数是有限的？哈代和赖特[7]猜想费马素数的个数是有限的。尽管如此，他们没有给出任何理由和解释。通过分解费马数，许多人相信[7]中的猜想成立。我们的工作是否解释了这一现象？我们将在另一篇论文中进一步考虑这个问题。基于我们的工作，可以给出一个存在无穷多对孪生素数（索菲·日尔曼素数或梅森素数）的新的充分条件。