de Polignac 猜想若干情形的一个证明

对 $n \geq 1$，令 $p_n$ 表示第 $n$ 个素数。令 $$S= \{1,7,11,13,17,19,23,29 \},$$ 即既小于 $30$ 又与 $30$ 互素的正整数集合。对 $x \geq 0$，令 $T_x := \{ 30x+i \; | \; i \in S\}.$ 对每个 $x$，$T_x$ 至多含七个素数。令 $[ \; ]$ 表示向下取整或最大整数函数。对每个整数 $s \geq 30$，令 $\pi_7(s)$ 表示满足 $T_x$ 含七个素数的整数 $x, \; 0 \leq x < [\frac {s}{30}]$ 的个数。令 $m \geq 10^{10}$ 为整数，并令 $P_{K_m}$ 表示小于 $\sqrt{\prod_{i=1}^{m}p_i}$ 的最大素数。本文我们证明 $$\frac{\prod_{i=1}^{m}p_i}{8(K_m+1)} < \pi_7\left(\prod_{i=1}^{m}p_i\right)$$ 并由此证明存在无穷多个使 $T_x$ 含七个素数的 $x$。这特别证明了著名的孪生素数猜想，以及 Alphonse de Polignac 猜想的若干情形：即对每一偶数 $k$，存在无穷多对素数 $p$ 与 $p'$ 使得 $p'-p = k$。