论一个更严格的孪生素数猜想及一般的 Polignac 猜想

Polignac 猜想由 Alphonse de Polignac 于 1849 年首次提出，断言对于任意偶数 M，存在无穷多对素数 P、P+M。当 M = 2 时，这退化为孪生素数猜想。尽管有数值证据和许多理论进展，该猜想至今仍未得到形式化证明。在本文的第一部分，我们研究该猜想的一个更严格版本，表述如下：“设 $p_{n}$ 为第 n 个素数。则总存在介于 $(p_{n}-2)^{2}$ 与 $p_{n}^{2}$ 之间的孪生素数”。为论证此猜想，我们基于双重筛法对该区间内孪生素数对的数量给出预测，并将预测与 $p_{n}$ 直至 6500000 的真实结果进行比较。我们还分析了对于更高 $p_{n}$ 值应出现的情况。在第二部分，我们研究一般 Polignac 猜想的有效性。我们预测任意 M 值的解的数量与 M = 2 的解的数量之比，并解释该比值如何依赖于 M 的因子分解。我们将预测与从第 1000000 个素数到第 21000000 个素数范围内 M 直至 3000（以及特殊情况 30030）的真实值进行比较。