利用米哈伊列斯库定理与 p 进分析对哥德巴赫猜想与波利亚克猜想的代数方法

我们通过 p 进分析与代数方法证明哥德巴赫猜想，无需素数间隙或分布知识，通过证明反例存在当且仅当某些多项式有整数解。为导出矛盾，假设存在反例 $2a$，并将不超过 $a$ 的素数集合记为 $\mathcal{P}$，我们构造哥德巴赫多项式 $$\mathcal{G}_-(z) := \prod_{p_k \in \mathcal{P}} (z - p_k) - \prod_{p_k \in \mathcal{P}}p_k^{\alpha_k}$$ 满足条件 $\mathcal{G}_-(2a) = 0$ 且所有 $\alpha_k$ 为互不相同的自然数。利用 Hensel 引理，我们证明每个 $2a - p_k$ 必为 $\mathcal{P}$ 中仅一个素数的完全素数幂，给出形如 $2a = p_j^{\alpha_j} + p_k$ 的解。应用 Mihăilescu 定理（卡塔兰猜想）表明此类最大多项式为 $$\mathcal{G}_-(z) = (z - 2)(z - 3) - 2^2 \times 3 : \mathcal{G}_-(6) = 0$$ 从而证明当 $a > 3$ 时无反例存在。随后我们以类似方法证明哥德巴赫差猜想，并由此推出波利亚克猜想。