整除 $x^{2^n}+1$ 连续整数值乘积的素数幂

设 $n$ 为正整数且 $f(x) := x^{2^n}+1$。本文研究整除形如 $P_{m,n}:=f(1)f(2)\cdots f(m)$ 的乘积的素数阶。我们证明若 $m > \max\{10^{12},4^{n+1}\}$，则存在 $P_{m,n}$ 的素因子 $p$ 使得 ord$_{p}(P_{m,n} )\leq n\cdot 2^{n-1}$。对 $n=2$，我们确立对每个正整数 $m$，存在 $P_{m,2}$ 的素因子 $p$ 使得 ord$_{p} (P_{m,2}) \leq 4$。因此，$P_{m,2}$ 从不是五次方或更高次幂。这推广了研究 $n=1$ 情形的 Cilleruelo 的工作。