素数与多项式 $x^2-1$ 的动力学

设 $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$。记 $P(n)$ 为序列中所有素数约数 $n, n^2-1, (n^2-1)^2-1, \dots$ 的集合。我们询问该集合 $P(n)$ 在假设 $n \neq m^2-1$ for $m \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$ 时是否唯一确定 $n$。该问题源于无限维李代数结构理论。我们证明集合 $P(n)$ 在正整数下生成无限多个等价类的等价关系 $n_1 \sim n_2 \iff P(n_1) = P(n_2)$。我们还证明了集合 $P(n)$ 将所有小于 $2^{29}$ 的正整数分离，并提供了一些关于为何该问题的答案应为正的启发。