关于多项式的最大素因子及相关问题

我们记 $\mathcal{P}$ = $\{P(x) \mid P(n) \mid n! \text{ 对无穷多个 } n\}$。本文识别了一些属于 $\mathcal{P}$ 的多项式。此外，我们记 $P^+(m)$ 为 $m$ 的最大素因子。由此可得的一个结论是：存在无穷多个 $n \in \mathbb{N}$，使得若 $f(x)$ 为三次多项式则 $P^+(f(n)) < n^{\frac{3}{4}+\varepsilon}$，若 $f(x)$ 为可约四次多项式则 $P^+(f(n)) < n$，若 $f(x)$ 为切比雪夫多项式则 $P^+(f(n)) < n^{\varepsilon}$。