多项式序列欧拉函数值的最大公约数

受 Venkataramana 一个问题的启发，我们考虑当 $f$ 是一个本原整系数多项式、且 $n$ 取遍所有自然数时 $\phi(f(n))$ 的最大公约数。在 Schinzel 假设下，我们证明这个最大公约数可以仅用多项式 $f$ 的次数来界定。在无条件的情况下，我们对二次多项式以及完全分裂为一次因式的多项式建立了这样的界。本文还处理了 Calegari 的一个问题，并证明存在无穷多个 $n$ 使得 $n^2+1$ 不被任何满足 $\equiv 1 \bmod 2^m$ 的素数整除，其中 $m$ 是一个充分大的固定整数。