多项式的因子分布

设 $F(x)$ 为具有整数系数且次数至少为 2 的不可约多项式。对于 $x\ge z\ge y\ge 2$，记 $H_F(x, y, z)$ 为满足 $F(n)$ 至少有一个因子 $d$ 满足 $y<d\le z$ 的整数 $n\le x$ 的个数。我们一致地确定了当 $y+y/\log^C y < z\le y^2$ 且 $y\le x^{1-\delta}$ 时 $H_F(x, y, z)$ 的量级，表明其与 $H(x,y,z)$（具有 $(y,z]$ 内因子的正整数 $n\le x$ 的个数）的量级相同。此处 $C$ 为任意大常数，$\delta>0$ 为任意小常数。