随机多项式判别式的大数定律
概率论
2025-06-17 v1 经典分析与常微分方程
摘要
设 f_n 为一个 n 次随机多项式，其系数为独立同分布的随机变量，均值为零，方差为一。设 Δ(f_n) 表示 f_n 的判别式，即 Δ(f_n) = A^{2n-2} ∏_{i<j} (α_j - α_i)^2，其中 A 为 f_n 的首项系数，α_1,…,α_n 为其根。我们证明：以高概率，当 n→∞ 时，|Δ(f_n)| = n^{2n} e^{-D_* n(1+o(1))}，其中 D_* > 0 为某个明确的通用常数。证明中的关键一步是判别式对数的解析表示，该表示同时捕捉了随机根的分布互反对称性以及该对称性所诱导的抵消效应。
引用
@article{arxiv.2506.12206,
title = {Law of large numbers for the discriminant of random polynomials},
author = {Marcus Michelen and Oren Yakir},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.12206},
year = {2025}
}
备注
35 pages