具有很少或没有实零点的随机多项式
概率论
2017-04-03 v1
摘要
考虑一个次数 n 很大的多项式,其系数为独立同分布、非退化、零均值且各阶矩有限的随机变量。我们证明,当 n 通过与被固定的整数 k >= 0 同奇偶的整数趋于无穷时,该多项式恰有 k 个实零点的概率为 n^{-b+o(1)}。特别地,次数为很大的偶数 n 的随机多项式没有实零点的概率为 n^{-b+o(1)}。有限的正常数 b 通过相关函数为 sech(t/2) 的居中平稳 Gaussian 过程来刻画。b 的值既不依赖于 k,也不依赖于系数的具体分布。在关于系数分布的一个额外光滑性假设下,以概率 n^{-b+o(1)} 还可指定这 k 个零点在实数线上的近似位置。若 i.i.d. 系数具有非零均值,则常数 b 被 b/2 取代。
关键词
引用
@article{arxiv.math/0006113,
title = {Random polynomials having few or no real zeros},
author = {Amir Dembo and Bjorn Poonen and Qi-Man Shao and Ofer Zeitouni},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0006113},
year = {2017}
}
备注
35 pages