零交叉数统计：从随机多项式到扩散方程
统计力学
2009-11-13 v2 无序系统与神经网络
概率论
摘要
我们考虑一类由整数 d 索引、具有大次数 n 的实随机多项式，并关注此类随机多项式的实根数量。此类多项式在区间 [0,1] 内没有实根的概率以幂律 n^{-\theta(d)} 衰减，其中 \theta(d)>0 是与空间维度 d 中具有随机初始条件的扩散方程的持续概率衰减相关的指数。当 n 为偶数时，此类多项式在整个实轴上没有根的概率以 n^{-2(\theta(d) + \theta(2))} 的形式衰减。对于 d=1，这种关联为实随机多项式提供了一种物理实现。我们进一步证明，此类多项式在 [0,1] 内恰好有 k 个实根的概率具有由 n^{-\tilde \phi(k/\log n)} 给出的非寻常标度形式，其中 \tilde \phi(x) 是一个普适大偏差函数。
引用
@article{arxiv.0705.2648,
title = {Statistics of the Number of Zero Crossings : from Random Polynomials to Diffusion Equation},
author = {Gregory Schehr and Satya N. Majumdar},
journal= {arXiv preprint arXiv:0705.2648},
year = {2009}
}
备注
4 pages, 3 figures. Minor changes. Accepted version in Phys. Rev. Lett