三角多项式的根与Erdős-Turán定理

我们证明，通俗地说，$\cos{(n \theta)} + 1 \geq 0$与方程$z^n + 1 =0$的根在角度上均匀分布并非巧合——该陈述的一个版本对所有具有“较少”实根的三角多项式成立。Erdős-Turán定理指出，若$p(z) =\sum_{k=0}^{n}{a_k z^k}$经适当归一化且在$|z|=1$上不太大，则其根聚集于$|z| = 1$附近并以$n^{-1/2}$尺度在角度上等分布。我们建立根的角度等分布速率与相应三角多项式$q(\theta) = \Re \sum_{k=0}^{n}{a_k e^{i k \theta}}$变号次数间的联系。若对某个$0 < \delta < 1/2$，$q(\theta)$有$\lesssim n^{\delta}$个根，则$p(z)$的根不会频繁以$\sim n^{-(1-\delta)} \ll n^{-1/2}$尺度在角度上聚集。