根数与奇偶性问题的联系

设 $E$ 为一个数域上椭圆曲线的一参数族。自然可以期望该族中曲线的平均根数为零。所有已知的这一民间猜想的反例都出现在满足某种退化条件的曲线族中。我们证明了对一大类相当一般类型的椭圆曲线族，其平均根数为零。进一步，我们证明任意非退化族 $E$ 的平均根数为 0，只要针对由 $E$ 显式构造的两个带整系数齐次多项式的两个经典算术猜想成立。第一个此类猜想——通常归于 Chowla——断言被一个多项式表示的整数的素因子个数的奇偶性等分布。我们证明了对于 3 次齐次多项式该猜想成立。所用的第二个猜想陈述为：任意非常数齐次多项式满足无平方因子筛法。我们通过筛法改进以及结合高函数、球填充与筛法的一种新方法， sharpen 了已知情形的现有界。