可表为两个有理立方数之和的整数

我们证明正比例的整数是可表为两个有理立方数之和的，且正比例的整数是不可如此表出的，从而证明了Davenport的一个猜想。更一般地，我们证明在任何三次扭族中，正比例（事实上至少六分之一）的椭圆曲线秩为0，且在任何三次扭族中在2处具有好约化的椭圆曲线里，正比例（事实上至少六分之一）秩为1。我们的方法涉及证明：在任何三次扭族中，具有任意给定根数的椭圆曲线的2-Selmer群的平均大小为3。我们通过推广第二作者与Ho关于带额外结构的椭圆曲线由二元三次形式对参数化的结果来实现这一点。随后我们使用了几何数论方法与圆法的新颖结合，该结合建立在Ruth与第一作者的早期工作之上。特别地，我们利用了圆法中出现的奇异积分与奇异级数在相关群上的实与$p$-进Haar测度下的新解释。我们证明了相关二次曲面上整点的一致估计，结合筛法可证明三次扭族上2-Selmer群的平均大小为3。通过适当划分族中具有给定根数的曲线子集，我们施行进一步的筛法以表明根数是等分布的，且同样的均值，现在仅取具有给定根数的曲线，仍为3。最后，我们应用Dokchitser-Dokchitser的$p$-奇偶性定理与Burungale-Skinner的$p$-逆定理得出结论。我们还证明了上述结果对平方数序列的类似：即我们证明正比例的平方整数是可表为两个有理立方数之和的，且正比例的不可。