有理数立方和 $3$-Selmer 群

最近，Alp"oge-Bhargava-Shnidman 确定了任意一个 $j$-不变为 $0$ 的有理数上椭圆曲线在三次翻转家族中 $2$-Selmer 群的平均大小。我们得到该翻转家族中 $3$-Selmer 群的分布。作为结果，我们改进了他们对表示为两个有理数立方和的整数密度的上界。假设一个 $3$-逆向定理，我们也改进了该密度的下界。该三次翻转家族中的 $\sqrt{-3}$-Selmer 群众所周知地较大，这给了第二个作者之前开发的方法带来了显著挑战。我们通过强化这些方法的分析核心来克服这一问题。具体而言，我们证明了一个适用于经典 R\'edei 符号的推广形式的“三线大筛”，然后使用它来控制这些翻转家族中 $\sqrt{-3}$-Selmer 群上的 Cassels-Tate 配对的限制。