二次扩张后扭曲曲线的 2-Selmer 群

设 $E/\mathbb{Q}$ 为具有完全有理 2- torsion 的椭圆曲线。当 d 取遍无平方因子整数时，我们研究固定二次扩张 $K/\mathbb{Q}$ 上二次扭曲 $E_d$ 的性质。我们证明，对 100% 的扭曲，其在 K 上的 2-Selmer 群维数由一个显式局部公式给出，并由此说明该维数服从 Erd\H{o}s--Kac 型分布。这与相应 2-Selmer 群在 $\mathbb{Q}$ 上的维数分布形成鲜明对比，而这种差异也使我们能够确定 $E_d$ 在 K 上的 Shafarevich--Tate 群中 2- torsion 的分布。作为我们方法的推论，我们证明对 100% 的扭曲 d，$\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 在 $E_d$ 于 K 上的 2-Selmer 群上的作用平凡，且 Mordell--Weil 群 $E_d(K)$ 作为不变元与反不变元的直和整分裂。另一方面，我们给出瘦家族二次扭曲的例子，其中 K 上正比例的 2-Selmer 群具有非平凡的 $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$-作用，说明前述结果确为统计现象。