利用 Selmer 群计算椭圆曲线的 Mordell-Weil 群

本硕士论文描述了如何利用 Selmer 群来确定数域 K 上椭圆曲线的 Mordell-Weil 群。Mordell-Weil 定理指出 $E(K) = E(K)_{tors} \times Z^r$，其中 $r$ 是 $E$ 的秩，$E(K)_{tors}$ 是挠子群，即 $E(K)$ 中有限阶点构成的群。群 $E(K)_{tors}$ 是有限的且已被充分理解。因此，人们试图寻找一种方法来确定 $E$ 的秩 $r$，这是主要问题。本论文描述的过程展示了如何将弱 Mordell-Weil 群 $E(K)/mE(K)$ 的计算转化为某些被称为齐次空间的曲线上有理点的存在性或非存在性问题。如果能找到 K 的某个完备化 $K_v$ 使得该齐次空间在 $K_v$ 中无点，则可推出它在 K 中也无点。在假设 Shafarevich-Tate 群有限的前提下，具有 $j$-不变量 $1728$ 的椭圆曲线在 $\mathbb{Q}$ 上的秩在某些情况下被完全确定。