关于 $\frac{\pi}{3}$-同余数问题 $2$-Selmer 群的大小

本文的主要目标是研究与 $\frac{\pi}{3}$-同余数问题相关的椭圆曲线 $2$-Selmer 群的平均秩。遵循 Heath-Brown 的策略，我们找到了松弛版 $2$-Selmer 群的渐近公式，这对 $2$-Selmer 秩的平均值以及 $\frac{\pi}{3}$-同余数问题具有若干影响。事实上，我们找到了在所有素数除子均为 $1$ 模 $4$ 且 $n\equiv 13\pmod{24}$ 的正平方无穷整数中，$2$-Selmer 秩为 $1$ 或 $3$ 的正密度；以及在所有素数除子均为 $1$ 模 $4$ 且 $n\equiv 5\pmod{24}$ 的正平方无穷整数中，$2$-Selmer 秩为 $0$ 或 $2$ 的正密度。