借助数据科学与机器学习揭示同余数椭圆曲线的算术统计

本文对同余数椭圆曲线的算术统计进行了全面的数据科学研究，利用了不超过 $300$ 万的无平方因子整数数据集。我们分析了对应椭圆曲线 $E_D: y^2 = x^3 - D^2x$（其中 $D$ 为无平方因子数）的 Mordell-Weil 秩、2-Selmer 秩和 3-Selmer 秩。我们的研究经验性地检验了 Heath-Brown 启发式方法，该方法预测了 2-Selmer 秩的分布以及基于模 $8$ 余数的同余数分布。特别地，我们提供了关于关联椭圆曲线具有正秩的数之比例的统计洞察。我们在此背景下对 Goldfeld 猜想进行了严格验证，分析了解析秩的分布，并展示了其与猜想中秩 $0$ 和秩 $1$ 的 $50/50$ 分裂的一致性。此外，我们探讨了这些曲线的 Tate-Shafarevich 群的 2-和 3-挠部分的猜想性渐近分布。基于经验证据，我们还提出了 3-Selmer 秩和 Mordell-Weil 秩的潜在统计分布。我们还考察了 Frobenius 迹的平均值，观察到它们趋于零且未表现出任何类似 murmuration 的模式。除了这些数论分析之外，我们还将机器学习技术应用于同余数的分类与预测，探索了基于椭圆曲线算术性质区分同余数与非同余数的计算方法的有效性。这一跨学科方法将高级数论与现代数据科学相结合，为猜想提供了经验支持并发现了新的模式。